термин, используемый в математике для обозначения такой зависимости между двумя величинами, при которой если одна величина задана, то другая может быть найдена. Обычно функция (с 17 в.) задается формулой, выражающей зависимую переменную через одну или несколько независимых переменных. Например, площадь круга есть функция его радиуса, и эта зависимость записывается формулой A = ?r2; периметр прямоугольника является функцией его длины и ширины или P = 2(l + w). Функцию можно изобразить графически, нанося точки, координатами которых служат независимые и зависимые переменные, на координатную плоскость (рис. 1). См. также АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
.

Считалось, что график, подобный изображенному на рис. 2, не может быть графиком одной функции, так как различные его части должны описываться различными формулами (y = x для x от 0 до 1; y = -x для x от ?1 до 0; y = 2 - x для x от 1 до 2 и т.д.). Каково же было удивление математиков, когда в начале 19 в. они обнаружили, что график функции, изображенной на рис. 2, в действительности определяется формулой

где многоточие указывает на то, что формула неограниченно продолжается аналогичным образом. См. также РЯДЫ
.

Это открытие привело к пересмотру определения функции. Согласно новому определению, под функцией надлежит понимать любое правило, позволяющее находить одно число (значение зависимой переменной), если задано другое число или набор чисел (значений независимых переменных). Такое правило может быть выражено формулой, но это необязательно. Его можно задать графически или просто описать словами. Например, "наибольшее целое число, не превосходящее x" обозначается как и представляется графически, как показано на рис. 3. Другой пример: правило "продолжительность дня x заданного года в часах". При таком описательном определении функции отпадает необходимость предполагать, что независимая и зависимая переменные - числа; они могут быть чем угодно. Например, положение города на карте является функцией его положения на поверхности Земли, а фамилию взрослого человека можно определить как функцию номера его паспорта. В каждом случае первое может быть найдено, если задано второе. Наряду с термином "функция" употребляют также равнозначные ему термины "отображение", "операция", "преобразование", "соответствие". Например, функцию, заданную формулой y = x2, можно представить как отображение оси x на ось y, как операцию возведения числа x в квадрат и как преобразование, превращающее число x в его квадрат.

В настоящее время такое определение функции заменено более общим. Определение функции как правила, ставящего в соответствие значение зависимой переменной каждому значению независимой переменной, не удовлетворяло, поскольку не определяло функцию как математический объект. Чтобы пояснить новое определение, предположим, что у нас имеется некоторое множество элементов A. Рассмотрим набор таких упорядоченных пар (a,b) (упорядоченность означает, что пара (a,b) считается отличной от пары (b,a)), в которых a принадлежит множеству A, а b может принадлежать A или какому-нибудь другому множеству. Такой набор упорядоченных пар называется отношением. Примерами могут служить пары чисел (x,x2) при любых значениях x; пары чисел (x,y), таких, что y < x2; или пары (a,b) отцов (a) и сыновей (b), в которых каждый отец встречается столько раз, сколько у него сыновей. Второй элемент упорядоченной пары не всегда определяется однозначно, если задан ее первый элемент. В первом примере он может быть однозначно определен, так как любое число имеет только один квадрат, но во втором и третьем примерах это не так, поскольку существует много чисел y, меньших, чем квадрат данного числа x, а у одного отца может быть несколько сыновей. Если второй элемент упорядоченной пары можно найти при заданном первом элементе, то каждый первый элемент встречается только один раз, и такое отношение называется функцией. Таким образом, функцией является только первое из трех приведенных выше примеров отношений. Если пары отцов и сыновей записать в обратном порядке, то они образуют функцию, так как у каждого сына есть только один отец. В более старой терминологии отношение, удовлетворяющее этому определению, называлось однозначной функцией, а некоторые другие типы отношений - многозначными функциями. Если функция задана графически, то упорядоченные пары представляют собой не что иное, как координаты точек графика, и новое определение сводится к утверждению, что функция есть геометрическое место точек, совпадающее с графиком.

Традиционная запись y = f(x) означает, что y является функцией от x. Переменная x называется аргументом функции.

Многие конкретные функции имеют свои названия; обычно такие функции задаются формулами. К числу элементарных функций относятся многочлены

логарифмическая функция, экспоненциальная функция, тригонометрические функции и их конечные комбинации. Примерами некоторых неэлементарных функций могут служить гамма-функция Эйлера

обобщающая факториал целого числа на нецелые значения x; при положительных целых x функция Г(x) сводится к (x - 1)! = 1?2?3?...?(x - 1) (это произведение называется факториалом числа x - 1); дзета-функция Римана

играющая важную роль в теории чисел, и функция ошибок

встречающаяся в статистике. В математической физике используются функции Бесселя

удовлетворяющие дифференциальному уравнению

См также АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ; ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ; ЛОГАРИФМ; ЧИСЛО; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.

1. обязанность, круг деятельности (книжн.).

2. работа производимая органом, организмом (книжн.).

3. роль, значение чего-нибудь (книжн.).

4. В философии: явление, зависящее от другого и изменяющегося по мере изменения этого другого явления.

5. В математике: закон, по которому каждому значению переменной величины (аргумента) ставится в соответствие некоторая определенная величина.

6. закон, по которому каждому значению переменной величины (аргумента) ставится в соответствие некоторая определенная величина, а также В математике: сама эта величина.

жен., мат. обозначенье действий над количествами.

| Физиол. отправленье членами тела своих действий.

(философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных, неблагоприятных - дисфункциональных или нейтральных - афункциональных), вызываемых изменением одного параметра в др. параметрах объекта (функциональность), или взаимосвязи отдельных частей в рамках некоторого целого (функционирование).

Понятие Ф. введено в научный оборот Г. Лейбницем. В дальнейшем в философии интерес к Ф. как одной из фундаментальных категорий возрастал по мере распространения в различных областях науки функциональных методов исследования. В наиболее развёрнутой форме функциональный подход был реализован Э. Кассирером, который разработал теорию понятий, или "функций". Эта попытка построения теории познания на основе функционального подхода оказала определённое влияние на философские представления о Ф. Исследуются проблемы обоснованности, приемлемости и доказательности функциональных высказываний и объяснений, широко используемых в биологических и социальных науках, особенно в связи с изучением целенаправленных систем. См. также статьи Система, Системный подход и лит. при них.

Лит.: Кассирер Э., Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции, СПБ, 1912; Юдин Б. Г., Системные представления в функциональном подходе, в сборнике: Системные исследования. Ежегодник 1973, М., 1973, с. 108-26; Frege G., Funktion und Begriff, Jena, 1891; Wright L., Functions, "Philosophical Review", 1973, v. 82, April, p. 139-68; Cummins R., Functional analysis, "The Journal of Philosophy", 1975, v. 72, № 20.

Б. Г. Юдин.

Функция в социологии. 1) Роль, которую определённый социальный институт или частный социальный процесс выполняет относительно потребностей общественной системы более высокого уровня организации или интересов составляющих её классов, социальных групп и индивидов. Например, Ф. государства, семьи, искусства и т.д. относительно общества. При этом различаются явные Ф., т. е. совпадающие с открыто провозглашаемыми целями и задачами института или социальной группы, и скрытые, латентные Ф., обнаруживающие себя лишь с течением времени и отличающиеся от провозглашаемых намерений участников этой деятельности. 2) Зависимость, которая наблюдается между различными компонентами единого социального процесса, когда изменения одной части системы оказываются производными от изменений в другой её части (например, изменения в соотношении городского и сельского населения как Ф. развития промышленности).

Марксистский поход к исследованию функций опирается на классовый анализ как самих институтов, так и соответствующих потребностей и интересов. См. также статьи Система, Структурно-функциональный анализ и литература при них.

А. Г. Здравомыслов.

одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента x. Иногда x называют независимой, а у - зависимой переменной. Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x) или у = F (x) и т. п. Если связь между x и у такова, что одному и тому же значению x соответствует вообще несколько (быть может даже бесконечное множество) значений у, то у называют многозначной Ф. аргумента x. Задать Ф. у = f (x) значит указать:

1) множество А значений, которые может принимать x (область задания Ф.),

2) множество В значений, которые может принимать у (область значения Ф.), и

3) правило, по которому значениям x из А соотносятся значения у из В. В простейших случаях областью задания Ф. служит вся числовая прямая или её отрезок а ≤ x ≤ b (или интервал а < x < b).

Правило отнесения значениям x соответствующих им значений у чаще всего задаётся формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над x, чтобы найти у. Таковы, например, формулы , и т. п. К вычислительным (или аналитическим) операциям, кроме четырёх действий арифметики, принято относить также операцию перехода к пределу (т. е. нахождение по заданной последовательности чисел a₁, a₂, a₃,... её Предела lima_n, если он существует), хотя никаких общих способов производства этой операции нет. В 1905 А. Лебег предложил общее определение аналитически изобразимой Ф. как Ф., значения которой получаются из значений x и постоянных величин при помощи арифметических действий и предельных переходов. Все т. н. элементарные Ф. sinx, cosx, a^x, , logx, arctgx и т. п. аналитически изобразимы. Например, cosx представляется формулой:

.

В 1885 К. Вейерштрасс установил аналитическую изобразимость любой непрерывной функции (См. Непрерывная функция). Именно, он показал, что всякая Ф., непрерывная на каком-нибудь отрезке, является пределом последовательности многочленов вида

c₀ + c₁x + c₂x² +...+ c_nxⁿ.

Кроме описанного здесь аналитического способа задания Ф. при помощи формулы, применяются и др. способы. Так, в тригонометрии Ф. cosx определяется как проекция единичного вектора на ось, образующую с ним угол в x радианов, а Ф. в алгебре как число, квадрат которого равен x. Возможность задания этих Ф. при помощи аналитических формул устанавливается лишь при более углублённом их изучении. Упомянем ещё о т. н. функции Дирихле ψ(x), равной 1, если x - число рациональное, и 0, если x - число иррациональное. Впервые эта Ф. была введена этим "бесформульным" способом, но впоследствии для неё была найдена и аналитическая формула:

.

Существуют, однако, и такие Ф., которые не представимы в описанном выше смысле никакой аналитической формулой. Такими Ф., во всяком случае, являются т. н. неизмеримые по Лебегу Ф.

К Ф., заданным одной аналитической формулой, примыкают Ф., которые на разных частях своей области задания определены различными формулами. Такова, например, Ф. f (x), заданная так: f (x) = x, если x ≤ 1, и f (x) = x², если x > 1. Приведённое выше "бесформульное" задание функции Дирихле ψ(x) также принадлежит к этому типу.

Ф. y = f (x) иногда задаётся своим графиком, т. е. множеством тех точек (x, у) плоскости, у которых x принадлежит области задания Ф., а у = f (x). В прикладных вопросах часто довольствуются таким заданием Ф., когда её график просто начерчен на плоскости (рис.), а значения Ф. снимаются с чертежа. Так, например, верхние слои атмосферы можно изучать при помощи шаров-зондов, несущих самопишущие приборы, непосредственно доставляющие кривые изменения температуры, давления и т. п.

Чтобы задание Ф. графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, однако, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определенно. Поэтому для графического задания Ф. должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию Ф., однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек).

В технике и естествознании часто встречается следующая ситуация: зависимость между величинами x и у заведомо существует, но неизвестна. Тогда производят ряд экспериментов, в каждом из которых удаётся измерить одно из значений величины x и соответствующее ему значение у. В результате составляется более или менее обширная таблица, сопоставляющая измеренным значениям x соответствующие значения у. Тогда говорят о "табличном" задании Ф. Нахождение для такой Ф. аналитической формулы (см. Интерполяция) не раз представляло собой важное научное открытие (например, открытие Р. Бойлем (См. Бойль) и Э. Мариоттом формулы pv = С, связывающей давление и объём массы газа). Табличное задание Ф. с чисто математической точки зрения вполне корректно, если под областью задания Ф. понимать именно то множество значений x, которое внесено в таблицу, и табличные значения у считать абсолютно точными. Кроме Ф. одного аргумента, о которых шла речь, в математике и её приложениях, большое значение имеют Ф. нескольких аргументов. Пусть, например, каждой системе значений трёх переменных x, у, z соответствует определённое значение четвёртой переменной u. Тогда говорят, что u есть (однозначная) Ф. аргументов x, у, z, и пишут u = f (x, у, z). Формулы u = x + 2y, u = (x + у) sinz дают примеры аналитического задания Ф. двух и трёх аргументов. Аналогично определяются и многозначные Ф. нескольких аргументов. Ф. двух аргументов z = f (x, y) можно задать и при помощи её графика, т. е. множества точек (x, у, z) пространства, у которых (x, у) принадлежит области задания Ф., а z = f (x, у). В простейших случаях таким графиком служит некоторая поверхность.

Развитие математики в 19 и 20 вв. привело к необходимости дальнейшего обобщения понятия Ф., заключавшегося в перенесении этого понятия с переменных действительных чисел сначала на переменные комплексные числа, а затем и на переменные математические объекты любой природы. Например, если каждому кругу x плоскости соотнести его площадь у, то у будет функцией x, хотя x уже не число, а геометрическая фигура. Точно так же, если каждому шару x трёхмерного пространства соотнести его центр у, то здесь уже ни x, ни y не будут числами.

Общее определение однозначной Ф. можно сформулировать так: пусть А = {x} и В = {у} - два непустых множества, составленных из элементов любой природы, и М - множество упорядоченных пар (x, у) (где x ∈ А, у ∈ В) такое, что каждый элемент x ∈ А входит в одну и только одну пару из М; тогда М задаёт на А функцию y = f (x), значение которой для каждого отдельного x₀ ∈ А есть элемент y₀ ∈ В, входящий в единственную пару из М, имеющую x₀ своим первым элементом.

При указанном расширении понятия Ф. стирается различие между Ф. одного и нескольких аргументов. Например, всякую Ф. трёх числовых переменных x, у, z можно считать Ф. одного аргумента - точки (x, у, z) трёхмерного пространства. Более того, такие обобщения понятия Ф., как функционал или оператор (см. Функциональный анализ), также охватываются приведённым определением.

Как и остальные понятия математики, понятие Ф. сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма "Введение и изучение плоских и телесных мест" говорится: "Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестных величины, налицо имеется место". По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении ("место" у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в "Геометрии" Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу ("Лекции по геометрии", 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием Ф. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона, Однако термин "Ф." впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном понимании его. Лейбниц называет Ф. различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек и т. п.). В первом печатном курсе "Анализа бесконечно малых" Г. Лопиталя (См. Лопиталь) (1696) термин "Ф." не употреблялся.

Первое определение Ф. в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): "Функция это величина, составленная из переменной и постоянной". В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания Ф. аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера (см. "Введение в анализ бесконечных", 1748): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств". Впрочем, уже Эйлеру было не чуждо и современное понимание Ф., которое не связывает понятие Ф. с каким-либо аналитическим её выражением. В его "Дифференциальном исчислении" (1755) говорится: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых". Всё же в 18 в. отсутствовало достаточно ясное понимание различия между Ф. и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую Ф. в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой Ф. аналитическое выражение, в то время как Ф. может и не иметь его (она может быть задана графиком, "начертанным свободным движением руки"). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все Ф. допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной Ф., которая всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, Эйлер считал, что разложение Ф. в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть "смешанной" Ф., представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении.

Эти ошибочные взгляды мешали развитию теории тригонометрических рядов, и лишь в работах Ж. Фурье (1822) и П. Дирихле (1829) правильные по существу идеи Д. Бернулли получили дальнейшее развитие.

С начала 19 в. уже всё чаще и чаще определяют понятие Ф. без упоминания об её аналитическом изображении. В руководстве французского математика С. Лакруа (1810) говорится: "Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних". В "Аналитической теории тепла" Ж. Фурье (1822) имеется фраза: "Функция fx обозначает функцию совершенно произвольную, т. е. последовательность данных значений, подчиненных или нет общему закону и соответствующих всем значениям x, содержащимся между 0 и какой-либо величиной X". Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского (См. Лобачевский) ("Об исчезании тригонометрических строк", 1834):"... Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной". Там же немного ниже сказано: "Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи, понимать как бы данными вместе". Т. о., современное определение Ф., свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле и высказанное в 1837, неоднократно предлагалось и до него.

В заключение отметим следующее важное открытие, принадлежащее Д. Е. Меньшову: всякая конечная измеримая (по Лебегу) на отрезке Ф. (см. Измеримые функции) разлагается в тригонометрический ряд, сходящийся к ней почти всюду. Т. к. обычно встречаемые Ф. измеримы, то можно сказать, что практически всякая Ф. изобразима аналитически с точностью до множества меры нуль.

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1-2, М., 1971-73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М.,1975

И. П. Натансон.

Рис. к ст. Функция.

в языкознании, способность языковой формы к выполнению того или иного назначения (нередко синоним терминам "значение" и "назначение" языковой формы); зависимость или отношения между единицами языка, обнаруживаемые на всех уровнях его системы. Установление Ф. языковой единицы предполагает определение её роли в данном языке (системе языка), например у предложения могут быть выделены коммуникативная (сообщать о чём-то) и номинативная (называть это событие) Ф. Каждая языковая единица существует исключительно потому, что она, в отличие от др. языковой единицы, служит известной цели, т. е. выполняет определённую Ф. Выделяются многочисленные Ф. языковых единиц - отождествления, разграничения и различения, в соответствии с которыми различаются и сами единицы, например Фонема служит различению разных слов и морфем (См. Морфема) или проведению границ между ними.

Ф. изучаются и рассматриваются не только при описании единиц языка, но и самого языка как системы. Основная Ф. языка: коммуникативная, или Ф. общения, познавательная, отражательная, перформативная, фатическая (установление контакта без установки на передачу информации), номинативная - наречение или называние предметов и явлений действительности, экспрессивная, или Ф. выражения, аппелятивная, или Ф. обращения. В числе Ф. языка указывают также на уровневые Ф. - фонологические, морфологические, грамматические и др. С функциональной точки зрения система языка есть многомерное образование, дифференцируемое как по формам проявления (устный и письменный язык), так и по социальной предназначенности (литературный язык, социальные диалекты, арго и пр.), по эстетической направленности (поэтический язык), по конкретным задачам общения (специальные терминологические системы).

Е. С. Кубрякова.

Ф'УНКЦИЯ, функции, ·жен. (·лат. functio - выполнение работы).

1. Явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления (·книж. ).

2. Переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменения другой величины (мат.). Величина давления газа есть функция величины его объема.

3. Работа, производимая органом, организмом (биол., физиол.). Отделение слюны является основной функцией слюнной железы.

4. перен. Обязанность, круг деятельности чего-нибудь, подлежащая исполнению работа (·книж. ). Служебные функции. Исполнять свою функцию в обществе. Функции государственного управления.

5. Значение, назначение, роль (·книж. ). Функция математического знака. Функция родительного падежа.